12.01.2013
WIELKIE UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wraz z coraz większymi modelami pojawiającymi się w praktyce obliczeniowej, coraz częściej zachodzi potrzeba rozwiązywania zadań algebry liniowej, w której macierze są co prawda wielkiego wymiaru, ale najczęściej rozrzedzone, to znaczy jest w nich bardzo dużo zer. Bardzo często zdarza się, że macierz wymiaru ma tylko niezerowych elementów. Wykorzytanie tej specyficznej własności macierzy nie tylko prowadzi do algorytmów istotnie szybszych od ich analogów dla macierzy gęstych (to znaczy takich, które (w założeniu) mają elementów), ale wręcz są jedynym sposobem na to, by niektóre zadania w ogóle stały się rozwiązywalne przy obecnym stanie techniki obliczeniowej!
Jednym ze szczególnie ważnych źródeł układów równań z macierzami rozrzedzonymi są np. równania różniczkowe cząstkowe (a więc np. modele pogody, naprężeń w konstrukcji samochodu, przenikania kosmetyków do głębszych warstw skóry, itp.).
Modele wielostanowych systemów kolejkowych (np. routera obsługującego wiele komputerów) także prowadzą do gigantycznych układów równań z macierzami rozrzedzonymi o specyficznej strukturze.
Z reguły zadania liniowe wielkiego wymiaru będą miały strukturę macierzy rozrzedzonej, gdyż najczęściej związki pomiędzy niewiadomymi w równaniu nie dotyczą wszystkich, tylko wybranej grupy.
Przykład: Macierz z kolekcji Boeinga
Spójrzmy na macierz sztywności dla modelu silnika lotniczego,
wygenerowaną swego czasu w zakładach Boeinga i pochodzącą z
dyskretyzacji pewnego równania różniczkowego cząstkowego. Pochodzi z kolekcji Tima Davisa. Jest to mała macierz, wymiaru 8032 (w kolekcji spotkasz równania z milionem i więcej niewiadomych).
Jej współczynnik wypełnienia (to znaczy, stosunek liczby niezerowych do wszystkich elementów macierzy) wynosi jedynie , a więc macierz jest bardzo rozrzedzona: w każdym wierszu są średnio tylko 44 niezerowe elementy.
Jej współczynnik wypełnienia (to znaczy, stosunek liczby niezerowych do wszystkich elementów macierzy) wynosi jedynie , a więc macierz jest bardzo rozrzedzona: w każdym wierszu są średnio tylko 44 niezerowe elementy.
PODSTAWY TEORII WERYFIKACJI HIPOTEZ
Formułowanie
hipotezy statystycznej rozpoczyna się zebraniem informacji na temat populacji i
jej możliwego rozkładu. Dzięki temu możliwe jest zbudowanie zbioru hipotez
dopuszczalnych Ω, czyli zbioru rozkładów, które mogą charakteryzować badaną populację.
Hipoteza statystyczna to każdy podzbiór zbioru hipotez dopuszczalnych
Podział
hipotez statystycznych
Hipotezy
statystyczne można podzielić na:
- parametryczne - hipoteza dotyczy wartości parametru rozkładu
- nieparametryczne - hipoteza dotyczy postaci funkcyjnej rozkładu
Według
innego kryterium podział przebiega następująco:
- proste - hipoteza jednoznacznie określa rozkład danej populacji, czyli odpowiadający jej podzbiór zbioru Ω zawiera jeden element (rozkład)
- złożone - hipoteza określa całą grupę rozkładów, zaś odpowiadający jej podzbiór zbioru Ω zawiera więcej niż jeden element
- alternatywna - przyjmujemy ją kiedy odrzucamy hipotezę zerową
Hipotezy weryfikujemy za pomocą
testów statystycznych.
Test
statystyczny: metoda
postępowania, która każdej próbce x1, x2, ...,xn
przyporządkowuje ustalonym prawdopodobieństwem decyzje odrzucenia lub przyjęcia
sprawdzanej hipotezy.
parametryczne testy istotności - służą do weryfikacji hipotez
parametrycznych – odrzucić czy też nie hipotezę wyjściową (zerową);
testy zgodności - testy weryfikujące hipotezy dotyczące
zgodności pomiędzy rozkładem wartości w próbce i rozkładem teoretycznym.
Przykładem
jest test c2 Pearsona;
Parametryczne
testy istotności
Rozpatrzymy
poniżej 3 parametryczne testy istotności dotyczące:
a) wartości
oczekiwanej;
b) różnicy
wartości oczekiwanych w dwóch próbkach;
c) wariancji
i odchylenia standardowego.
Teza
rzeczowa – to, co mamy udowodnić metodą statystyczną, np. że wartość średnia
obliczona dla próby jest większa od wartości oczekiwanej w populacji generalnej.
W tym celu formułujemy hipotezę, którą zamierzamy weryfikować. Nazywamy ją
hipotezą zerową i oznaczamy H0. Może ona brzmieć następująco:
wartość oczekiwana jest równa m0, co zapiszemy
H0: m=m0.
Zwykle testujemy hipotezę zerową wobec hipotezy alternatywnej Ha,
np. Ha: m=m1¹m0. Wyniki weryfikacji jakiejś hipotezy nie dają nam
absolutnej pewności, ale wnioski możemy sformułować z dowolnie dużym
prawdopodobieństwem. Tezę rzeczową, którą chcemy udowodnić metodą statystyczną
zwykle nie przyjmujemy jako hipotezy zerowej H0, ale jako hipotezę
alternatywną, którą przyjmujemy po ewentualnym odrzuceniu hipotezy zerowej H0.
Testowanie
składa się z następujących etapów:
1.Sformułowanie
tezy rzeczowej i ustaleniu hipotez H0 i Ha;
2.Wyboru
właściwej funkcji testowej (statystyki z próby);
3.Przyjęciu
stosownego poziomu istotności a
4.Odczytaniu
wartości krytycznych w tablicach dystrybuanty właściwego rozkładu i ustaleniu
obszaru krytycznego;
5.Odrzuceniu
hipotezy zerowej na korzyść hipotezy alternatywnej, gdy funkcja testowa
obliczona z próby znajduje się w obszarze krytycznym i nie odrzucenie jej, gdy
funkcja testowa jest poza obszarem krytycznym
Przykład
Należy dokonać oceny partii pudelek zapalek liczącej 100 tys. sztuk. dostawca twierdzi, że w pudelku znajdują się przecietnie 54 zapalki. Zweryfikować hipotezę H0(m = m0 = 54). Ponieważ nie znamy rozkładu liczby zapałek w pudełkach w populacji generalnej, a mozemy łatwo pobrać próbę >= 30 możemy wieć w przybliżeniu skorzystać z rozkładu normalnego. Zkaldamy, że przy próbie o wielkości n = 100 odnotowano średnią arytmetyczną mn = 51,21 natomiast σn' = 2,54. Weryfikujemy przy poziomie istotności α = 0,02 ponieważ obraliśmy dużą próbę wiec . Musimy zatem wyznaczyć t dla ktoregoDefiniujemy unormowaną zmienną Y:
podstawiamy do wzoru
Z własności bezwzględnej wartości:
Ponieważ funkcja gęstości jest dla rozkładu N(0,1) parzysta to zachodzi równość:
Wiadomo, że P(A) to to samo co 1-P(A') więc:
1 − P(Y < t) = 0,01
P(Y < t) = 0,99
A P(Y<x) to dystrybuanta - czyli F(x):
F(t) = 0,99
Teraz w tablicy rozkładu normalnego znajdujemy najmniejszą wartość t dla której F(t) wynosi conajmniej 0,99. Jest to wartość 2,33.
Hipotezę H0 należy wiec odrzucić na poziomie istotności α jeżeli , w przeciwnym wypadku przy zadanej istotności α = 0,02 nie możemy ani potwierdzić hipotezy, ani jej odrzucić.
Zgodnie z naszymi danymi wychodzi:
| Mn − 54 | = | 51,21 − 54 | = 2,79
Więc:
Zatem hipotezę możemy odrzucić (jeśli wyjdzie odwrotnie to piszemy że nie odrzucamy ani nie potwierdzamy - tak właśnie trzeba było zrobić na egzaminie, bo wychodziło <).
Subskrybuj:
Posty (Atom)