WIELKIE UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

            Wraz z coraz większymi modelami pojawiającymi się w praktyce obliczeniowej, coraz częściej zachodzi potrzeba rozwiązywania zadań algebry liniowej, w której macierze są co prawda wielkiego wymiaru, ale najczęściej rozrzedzone, to znaczy jest w nich bardzo dużo zer. Bardzo często zdarza się, że macierz wymiaru ma tylko niezerowych elementów. Wykorzytanie tej specyficznej własności macierzy nie tylko prowadzi do algorytmów istotnie szybszych od ich analogów dla macierzy gęstych (to znaczy takich, które (w założeniu) mają elementów), ale wręcz są jedynym sposobem na to, by niektóre zadania w ogóle stały się rozwiązywalne przy obecnym stanie techniki obliczeniowej!
Jednym ze szczególnie ważnych źródeł układów równań z macierzami rozrzedzonymi są np. równania różniczkowe cząstkowe (a więc np. modele pogody, naprężeń w konstrukcji samochodu, przenikania kosmetyków do głębszych warstw skóry, itp.).
Modele wielostanowych systemów kolejkowych (np. routera obsługującego wiele komputerów) także prowadzą do gigantycznych układów równań z macierzami rozrzedzonymi o specyficznej strukturze.
Z reguły zadania liniowe wielkiego wymiaru będą miały strukturę macierzy rozrzedzonej, gdyż najczęściej związki pomiędzy niewiadomymi w równaniu nie dotyczą wszystkich, tylko wybranej grupy.

Przykład: Macierz z kolekcji Boeinga

Spójrzmy na macierz sztywności dla modelu silnika lotniczego, wygenerowaną swego czasu w zakładach Boeinga i pochodzącą z dyskretyzacji pewnego równania różniczkowego cząstkowego. Pochodzi z kolekcji Tima Davisa. Jest to mała macierz, wymiaru 8032 (w kolekcji spotkasz równania z milionem i więcej niewiadomych).

Struktura niezerowych elementów macierzy bcsstk38.

Jej współczynnik wypełnienia (to znaczy, stosunek liczby niezerowych do wszystkich elementów macierzy) wynosi jedynie , a więc macierz jest bardzo rozrzedzona: w każdym wierszu są średnio tylko 44 niezerowe elementy.