METODY  ITERACYJNE

   

  Metoda Gaussa - Seidela jest metodą iteracyjną i pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax = b. Wektor x⁰ będący początkowym przybliżeniem rozwiązania układu będzie dany (zwykle przyjmuje się go jako wektor złożony z samych zer). By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera.
Na początku macierz współczynników A rozłożymy na sumę trzech macierzy A = L + D + U, gdzie L jest macierzą w której znajdują się elementy których numer wiersza jest większy od numeru kolumny, D to macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej, a U to macierz, w której znajdują się elementy których numery wiersza są mniejsze od numerów kolumny. Można to zapisać następująco:

Rozpatrzmy układ równań liniowych z niewiadomymi:

gdzie

• –  macierz układu (,
• – zadany wektor ( składowych),
• – poszukiwane rozwiązanie (wektor o składowych).

Pojedynczą iterację metody Gaussa-Seidla można zapisać algebraicznie jako

gdzie jest nieosobliwą macierzą diagonalną, a i są odpowiednio macierzą  dolnotrójątnąi górnotrójkątną  macierzy (tzn. oraz mają zera na głównej przekątnej oraz ), natomiast indeks oznacza numer porządkowy iteracji.
Po rozpisaniu na składowe wzór ten przyjmuje postać używaną w implementacjach numerycznych:

Metoda Gaussa-Seidla jest metodą relaksacyjną, w której poszukiwanie rozwiązania rozpoczyna się od dowolnie wybranego rozwiązania próbnego , po czym w kolejnych krokach, zwanych iteracjami, za pomocą prostego algorytmu zmienia się kolejno jego składowe, tak by coraz lepiej odpowiadały rzeczywistemu rozwiązaniu.
Metoda Gaussa-Seidla bazuje na metodzie Jacobiego, w której krok iteracyjny zmieniono w ten sposób, by każda modyfikacja rozwiązania próbnego korzystała ze wszystkich aktualnie dostępnych przybliżonych składowych rozwiązania. Pozwala to zaoszczędzić połowę pamięci operacyjnej i w większości zastosowań praktycznych zmniejsza ok. dwukrotnie liczbę obliczeń niezbędnych do osiągnięcia zadanej dokładności rozwiązania.