26.11.2012

 

PROCESY LOSOWE


Procesem losowym nazywamy rodzinę zmiennych losowych
\{X_t(\omega), t \in T\}
zależnych od parametru t i określonych na danej przestrzeni probabilistycznej (Ω,A,P).
Innymi słowy proces losowy to losowa funkcja parametru t, czyli taka funkcja, która \forall{t \in T} jest zmienną losowa.
Zmienną losową Xt, którą proces losowy jest w ustalonej chwili t \in T nazywamy wartością tego procesu.
Zbiór wartości wszystkich zmiennych losowych X_t(\omega), t \in T , nazywamy przestrzenią stanu procesu losowego lub przestrzenią stanu.
Jeśli zbiór jest skończony lub przeliczalny, to mówimy o procesach losowych z czasem dyskretnym. W pierwszym wypadku mamy do czynienia z n-wymiarową zmienną losową, a w drugim z odpowiednim ciągiem zmiennych losowych.
Choć niektóre klasy procesów losowych z czasem dyskretnym (np. łańcuchy Markowa) zasługują na uwagę, to jednak w dalszym ciagu skoncentrujemy się na procesach losowych z czasem ciągłym czyli takich, dla których T jest nieprzeliczalne.
Dla głębszego zrozumienia natury procesu losowego spójrzmy nań jeszcze z innej strony. Jak pamiętamy zmienna losowa przyporządkowywała zdarzeniu losowemu punkt w przestrzeni Rn. W przypadku procesu losowego mamy do czynienia z sytuacją gdy do opisu wyniku doświadczenia niezbędna jest funkcja ciągła, zwana realizacją procesu losowego.
W dalszym ciągu zakładamy, że mamy do czynienia ze skończonymi funkcjami losowymi, a zbiór wszystkich takich funkcji (realizacji) będziemy nazywali przestrzenią realizacji procesu losowego. Prowadzi to do drugiej definicji:
Procesem losowym nazywamy mierzalną względem P transformację przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω w przestrzeni realizacji, przy czym realizacją procesu losowego nazywamy każdą skończoną funkcją rzeczywistą zmiennej t \in T.
Definicja powyższa wynika ze spojrzenia na proces losowy jako na funkcję dwóch zmiennych  t \in T i  \omega \in \Omega , ustalając t otrzymujemy zmienną losową , a ustalając ω otrzymujemy realizację .
Na ogół na przestrzeń realizacji procesu losowego narzuca się pewne ograniczenia np. żeby to była przestrzeń Banacha (niezerowa i zwyczajna).
Reasumując: graficznie można przedstawić te dwa punkty widzenia w następujacy sposób.
Pełne oznaczenie procesu losowego ma zatem postać
\{X_t(\omega) : t \in T\}, lub X(\omega, t), t \in T, \omega \in \Omega
przy czym w obu wypadkach zakłada się, że jest określona przestrzeń probabilistyczna (\Omega, \mathcal{A}, P).
Ponieważ jednak zależność od ω jako naturalną zwykle się pomija, otrzymujemy:
\{X_t : t \in T\} , lub X(t) : t \in T .
Ponadto, jeśli zbiór T jest zdefiniowany na początku rozważań to pomija się także zapis t \in T i w rezultacie otrzymujemy :
Xt, lub X(t).
Oznaczenie X(t) może zatem dotyczyć całego procesu losowego, jego jednej realizacji (dla ustalonego ω) lub jego jednej wartości, czyli zmiennej losowej (dla ustalonego t). Z kontekstu jednoznacznie wynika, o co w danym zapisie chodzi.
Przejdźmy do zapisu procesu losowego X(t). Będziemy rozpatrywać wyłącznie procesy losowe rzeczywiste (proces losowy zespolony ma postać: X(t) = X1(t) + iX2(t), gdzie X1(t) i X2(t) są procesami losowymi rzeczywistymi).
Ponieważ \forall{t \in T} proces losowy Xt jest zmienną, więc jego pełny opis w chwili t stanowi pełny rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Rozkład taki nazywamy jednowymiarowym rozkładem prawdopodobieństwa procesu losowego. Jest on scharakteryzowany przez jednowymiarową dystrybuantę procesu losowego, w postaci :
F(x,t) = P[X(t) < x] 
Oczywiście rozkład jednowymiarowy procesu losowego nie charakteryzuje wzajemnej zależności między wartościami procesu (zmiennymi losowymi) w różnych chwilach. Jest on zatem ogólny tylko wtedy gdy dla dowolnych układów t_1, t_2, \cdots wartości procesu losowego,są ciągami zmiennych losowych niezależnych, co na ogół nie zachodzi. W ogólności musimy zatem rozpatrywać łączny rozkład wartości procesu w różnych chwilach.



Autor: o

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)