RÓWNANIA NIELINIOWE
Metoda ta należy do jednych z najszybciej zbieżnych metod służących do wyznaczania pierwiastków równań nieliniowych. Stopień zbieżności tej metody wynosi 2. Zbieżność tej metody została osiągnięta dzięki dodatkowemu nakładowi pracy jakim jest wyznaczenie pochodnej badanego równania. W niektórych przypadkach wyznaczenie pochodnej jest sprawą bardziej złożoną i zastosowanie tej metody nie jest opłacalne.
Na poniższym rysunku pokazany jest sposób w jaki dążymy do wyznaczenia pierwiastka równania.
Na poniższym rysunku pokazany jest sposób w jaki dążymy do wyznaczenia pierwiastka równania.
Obliczanie pierwiastków równań nieliniowych - metoda bisekcji
Metoda ta pozwala w prosty sposób wyznaczyć z zadaną dokładnością pierwiastki równania nieliniowego. Przed przystąpieniem do obliczania należy poznać najpierw przebieg funkcji by w przybliżeniu określić granice przedziału, w którym znajduje się szukany pierwiastek (można je oszacować z większym lub mniejszym przybliżeniem). Metoda ta może być stosowana w każdym przypadku, w którym funkcja w granicach podanego przedziału zmienia znak (po przejściu przez miejsce zerowe). Metoda ta zawsze jest zbieżna (zbieżność liniowa tej procedury gwarantuje odnalezienia pierwiastka równania jednak kosztem ilości iteracji). Poniższy rysunek obrazuje proces poszukiwania pierwiastków. Niżej procedura poszukująca pierwiastki zadanego równania.
Metoda iteracji prostej należy do tzw. metod iteracyjnych jednopunktowych. Oparta jest na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym. Ciąg kolejnych przybliżeń dla tej metody jest następujący: xk+1=q(xk) (k=1,2,3,...). Przy czym q(x) jest równaniem równoważnym otrzymanym po zastąpieniu równania wyjściowego f(x)=0 => x=q(x). Pierwszy punkt przybliżenia przyjmujemy w jak najbliższym sąsiedztwie pierwiastka równania. Funkcja ta powinna być tak dobrana aby proces był jak najszybciej zbieżny. Ilustrację graficzną przedstawia poniższy rysunek prezentujący dwa warunki gdy metoda jest zbieżna i rozbieżna.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz